Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть  — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

- (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть  — разбиение отрезка параметризации , причем .

Зададим разбиение кривой .

За обозначим часть кривой от точки до точки , .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации : .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой : , , , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если , то говорят, что функция интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции по кривой и обозначают . Здесь  — дифференциал кривой.

Если , , , то говорят, что функции , и интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций , и по кривой и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций , и также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:

.

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если в одной точке, то

3. Монотонность: если на , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

Очевидно, что: .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

Криволинейный интеграл второго рода

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если на , то

4. Оценка модуля:

5. Теорема о среднем: если непрерывна на , то , такая что:
6.

Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за касательный вектор к кривой , то нетрудно показать, что

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении),  — касательный вектор кривой . Пусть также функция и вектор-функция определены и интегрируемы вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

См. также

• Интеграл
• Комплексный криволинейный интеграл
• Поверхностный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля